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\title{Problème à N corps}
\date{Vendredi 3 juin 201}
\usetheme{CambridgeUS}
\author{LATHUILIERE Stéphane}
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\begin{document}
\begin{frame}[plain]
\titlepage
\tableofcontents

\end{frame}

\section{Problème physique et choix techniques}



\begin{frame}[plain]{Problème physique et choix techniques}

\subsection{Description physique}
\textcolor{blue}{\underline{{\Large  Description physique :}}}
\vspace{10pt}
\begin{figure}
%\center\includegraphics<1>[width=10cm]{corps.png}
\caption{schéma de la situation physique}\end{figure}
On applique les deuxième et troisième lois de Newton :
\begin{itemize}
\item$\forall i \in $\textlbrackdbl1,n\textrbrackdbl 
$,m_{i} \overrightarrow{a_{i}}= \displaystyle\sum_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}^{n}\frac{G m_{i}m_{j}}{\|(\overrightarrow{C_{i}C_{j}})\|^{3}}\overrightarrow{C_{i}C_{j}} $
\item$\forall i \in $\textlbrackdbl1,n\textrbrackdbl $, \overrightarrow{F_{i/j}}=-\overrightarrow{F_{j/i}}$
\end{itemize}

\vspace{30pt}
\subsection{Choix du langage}
\textcolor{blue}{\underline{{\Large Choix du langage :}}}
\vspace{10pt}

Le langage choisi est le C :

\begin{itemize}
\item Performances de calculs
\item Gestion des grands nombres : le type float de camllight ne supporte que 12 chiffres significatifs.
\item Plus bas niveau
\end{itemize}

\end{frame}

\section{Résolution numérique}
\begin{frame}[plain]{Résolution numérique}
\subsection{Méthodes de Runge-kutta et de Adams-Bashforth }

\textcolor{blue}{\underline{{\Large Performances des méthodes :}}}

%\vspace{10pt}
L'équation est du type : $\forall t \in [t_0,T],\dot y(t)=f\left(y(t)\right)$

\vspace{1.5em}
\underline{\textbf{Méthodes de Runge-kutta}}\\
\hfill $k_{n,i}=f(y_n+h\displaystyle\sum_{j=1}^{q}a_{ij}k_{n,j}) $\hfill$\,$ \\
\hfill $y_{n+1}=y_n+h\displaystyle\sum_{j=1}^{q}b_jk_{n,j}$\hfill$\,$ \\
\vspace{0.5em}
\underline{Formules à l'ordre 4:}\\
%\begin{center}
$\begin{array}{ll}
\textstyle k_{n,1} = f(y_n)& \quad k_{n,2} = f(y_n + \frac{h}{2} k_{n,1})\\
\textstyle k_{n,3} = f (y_n + {h\over 2} k_{n,2})&\quad k_{n,4} = f (y_n + h k_{n,3})\\
\end{array}$\\
\vspace{0.4em}
$y_{n+1}=y_n +\frac{h}{6}( f(k_{n,1})+2f(k_{n,2})+2f(k_{n,3})+f(k_{n,4}))$
%\end{center}

\vspace{1.5em}
\underline{\textbf{Méthodes de Adams-Bashforth}}
%\vspace{20pt}
\newcommand{\deriv}{\mathrm{d}}
\begin{center}
$y_{n+1}-y_n= \displaystyle\int_{t_n}^{t_{n+1}} f(x,y) \deriv t $
\end{center}
%\vspace{20pt}

\underline{Formule à l'ordre 4 :} 

\[
\begin{array}{lll}
y_{n+5} & = & y_{n+4} + h \big(\frac{190}{720}f(t_{n+4}, y_{n+4}) \vspace{0.5em}\\
 &- &  \frac{2774}{720} f(t_{n+3}, y_{n+3}) + \frac{2616}{720} f(t_{n+2}, y_{n+2})\vspace{0.5em}\\
 &- &  \frac{1274}{720} f(t_{n+1}, y_{n+1}) + \frac{502}{720} f(t_n, y_n) \big)\\
\end{array}
\]


   



\end{frame}

\begin{frame}[plain]
\subsection{Performances des méthodes }
\textcolor{blue}{\underline{{\Large Performances des méthodes :}}}
\vspace{10pt}

\begin{figure}
%\center\includegraphics<1>[width=11cm]{comparaison_adams_runge.png}
\caption{Performances des méthodes}\end{figure}

Cette différence s'explique par un nombre de calculs bien plus imporant avec la méthode de Runge-Kutta.

\begin{figure}
%\center\includegraphics<1>[width=11cm]{openmp.png}
\caption{Améliorations des performances grâce à openMP}\end{figure}

\end{frame}

\section{Evaluation physique}
\begin{frame}[plain]{Evaluation physique}
\subsection{Système solaire}

\textcolor{blue}{\underline{{\Large Système solaire :}}}
\vspace{10pt}

On compare avec les éphémérides :
\begin{figure}
%\center\includegraphics<1>[width=17cm]{systeme.png}
\caption{Trajectoires calculées entre les $1^{er}$ janvier 2000 et 2011}\end{figure}

Ecart relatif avec la position de la terre calculée par les éphémérides:\begin{itemize}
\item Méthode de Runge-Kutta : 20.5\%
\item Méthode d'Adams-Bashforth : 20.0\%
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[plain]
\subsection{Points de Lagrange}

\textcolor{blue}{\underline{{\Large Points de Lagrange :}}}
\vspace{10pt}

\begin{figure}
%\center\includegraphics<1>[width=10cm]{lagrange.png}
\caption{Points de Lagrange}\end{figure}

\begin{figure}
%\center\includegraphics<1>[width=15cm]{lagrangecourbe.png}
\caption{Trajectoire d'un corps placé à proximité d'un points de Lagrange}\end{figure}



\end{frame}
\end{document}